Финансовые вычисления

2020 August 20th

econolabs.github.io/financial_calculations/

  • Наращение - от настоящего к будущему

  • Дисконтирование - от будущего к настоящему

  • Простые проценты

  • Сложные проценты (капитализированные)

Ставка 10% годовых

100
110
121
FV
100
...
121
i
?
...
121

Простые и сложные проценты

Типовая задача
Доходность по методу простых процентов

Облигация сроком обращения 4 мес. предлагается за 985.256 руб. Номинал 1000 руб. Доходность этой облигации... процентов годовых

CalcAnonymous
fx
Типовая задача
Доходность по методу сложных процентов

Инвестора сформировал портфель на 10 млн. руб. и через за 5 лет продал его за 15.318.
Какова годовая доходность инвестора в процентах?

CalcAnonymous
fx

Рассчитайте фактическую доходность за пять лет - IMOEX, RTS

Структура IMOEX

Дисконтирование

Дисконтирование на 1 год

Сколько мы готовы заплатить за вексель, по которому через ГОД заплатят 10 млн. руб? Ставка альтернативной доходности 10%

Дисконтный множитель 0,909=1/1,1, дисконт 9,1%

Дисконтирование на 2 года

Сколько мы готовы заплатить за актив, по которому через ДВА года заплатят 10 млн. руб? Ставка альтернативной доходности 10%

Дисконтный множитель 0,826=1/(1,1*1,1), дисконт 17,4%

Текущая стоимость будущих денег Present value

CF cash flow

Критерии принятия инвестиционных решений

Показатели0123
Денежный поток-400100150300
Дисконтный множитель при ставке 10% годовых1,0000,9090,8260,751
Дисконтированный денежный поток-40091124225
Накопленный дисконтированный денежный поток-400-309-18540

Что чаще всего используют на практике - опрос 392 гендиректоров (SEO)?

  • IRR 75.6%
  • NPV 74.9%
  • Срок окупаемости 56.7%
  • Бухгалтерская норма доходности 20.3%
  • Индекс прибыльности 11.9%

Excel

NPV

Для расчета NPV используется функция =ЧПС() =NPV() Недостаток - нельзя указать 0 степень Аргументы - только положительные денежные потоки Потом вычитаем инвестиции

Excel NPV

Типовая задача
NPV Чистая приведенная стоимость

На основе имеющихся данных, рассчитайте в Excel NPV при ставке требуемой доходности 10% годовых

Показатели 31.12.2021 31.12.2022 31.12.2023 31.12.2024
Денежный поток -4531.565 1000 2000 2343.855

CalcAnonymous
fx
Типовая задача
Рассчитайте стоимость облигации (NPV)

Рассчитайте стоимость облигации (NPV). Номинал 1000 руб., срок обращения 2 года. Купонная доходность - 5% годовых. Требуемая доходность - 4.818%

CalcAnonymous
fx
Типовая задача
Рассчитайте изменение стоимости облигации (NPV) при изменении ставки требуемой доходности на 1%

Рассчитайте, на сколько снизится стоимость пятиледней облигации (NPV) при изменении ставки требуемой доходности с 5% до 6% годовых (положительное число)? Номинал 1000 руб, купонная доходность - 2.761%

CalcAnonymous
fx
PI

Дисконтированные положительные денежные потоки делим на сумму инвестиций

Проект хороший, если PI больше 1

IRR

Для расчета IRR используется функция =ВСД() =IRR()

IRR - ставка дисконтирования при которой NPV равен нулю. Если IRR больше доходности аналогичных инвестиций - проект хороший

Excel IRR

Типовая задача
IRR Внутренняя ставка доходности

На основе имеющихся данных, рассчитайте в Excel эффективность инвестиционного портфеля -IRR (внутреннюю ставку доходности)

Показатели 31.12.2021 31.12.2022 31.12.2023 31.12.2024
Денежный поток -6817.311 2000 3000 2490.987

CalcAnonymous
fx
MIRR

Пусть наш проект приносит слишком ХОРОШО доходность. Что нам делать с полученными средствами?

  1. Все значения доходов, формируемых инвестициями, приводятся к концу проекта. Для приведения используется ставка, равная реальной доходности рынка.
  2. Все инвестиции и реинвестиции приводятся к началу проекта. Для приведения используется ставка дисконтирования.
  3. MIRR определяется как норма дохода, при которой все ожидаемые доходы, приведенные к концу проекта, имеют текущую стоимость, равную стоимости всех требуемых затрат

Для расчета MIRR используется функция =МВСД(). Функция МВСД учитывает как затраты на привлечение инвестиции, так и процент, получаемый от реинвестирования денежных средств.

Excel MIRR

Пренумерандо и постнумерандо

Инвестиции первого года 10 млн, приток первого года 1 млн. Инвестиции второго года 10 млн, приток также 10 млн. Денежный приток третьего года 20 млн

0
1
2
3
Пренумерандо (инвестиции) степеньГод проектаПостнумерандо (CF) степень
011
122
233

Интуитивная модель оценки бизнеса. Перпетуитет

Альтернативные варианты размещения средств. Сколько стоит бизнес?

Можно купить бизнес - 10 млн. руб. в годМожно открыть депозит - под 10% годовых
Стоимость бизнеса - сумма дисконтированных денежных потоков

Формальное решение - стоимость бизнеса - NPV всех денежных потоков

Business PriceCF диск1 год2 год3 год4 год... год
9,099,0910
17,368,2610
24,877,5110
31,706,8310
......
?0,00...

Вспомним школу - сумма бесконечной геометрической прогрессии

b2=b1q, b3=b2q=b1qq...

Если q<1

S=b1/(1-q)

В нашем случае

...
...

Применение формулы суммы бесконечной прогрессии

Ставка альтернативной доходности 10%. Нам предлагают купить торговый центр, который будет ежегодно приносить 10 млн. руб.

Перпетуитет (вечная рента)

Типовая задача - прирост стоимости акций в результате утверждения инвестиционного проекта

Типовая задача
Прирост стоимости акции компании после утверждения проекта

Компания планирует провести модернизацию производства, которая позволит увеличить годовой денежный поток на 200 млн. рублей в бесконечной перспективе (перпетуитет)
Для реализации проекта требуются единовременные инвестиции сейчас в размере 1884.919 млн. руб.
Какова чистая приведенная стоимость проекта, если альтернативные издержки капитала (альтернативные затраты на капитал) составляют 10%?
На сколько должна вырасти стоимость одной акции этой компании, если всего в обращении находится 10 млн. шт. акций?

CalcAnonymous
fx

Формула Гордона - модификация перпетуитета

Денежные потоки растут с постоянным темпом

Торговый центр в конце первого года принесет 10 млн. руб. и каждый год арендная плата будет расти на 2% в год относительно предыдущего. Требуемая доходность 10% годовых

Стоимость бизнеса - сумма бесконечных дисконтированных денежных потоков

Вспомним школу - сумма бесконечной геометрической прогрессии

b2=b1q, b3=b2q=b1qq...

Если q<1

S=b1/(1-q)

В нашем случае q=1,02/1,10

...
...

Получаем 125

Знаем ТРЕБУЕМУЮ доходность - можно рассчитать СПРАВЕДЛИВУЮ цену

Формула Гордона
Цена = 200 млн. руб
Ожид. своб. ден. поток перв. года, млн. руб
Треб. доходность, %
Темп прир. ден. потока, %

Знаем РЫНОЧНУЮ цену - можно рассчитать СПРАВЕДЛИВУЮ требуемую доходность с учетом всех рисков

Формула Гордона
Требуемая инвесторами доходность = 13 %
Факт. цена акции, млн руб
Ожид. ден. поток перв. года, млн. руб
Темп прироста денежного потока, %

Мы открываем продуктовый магазин, рассчитываем NPV

Где взять требуемую доходность?

Можем рассчитать по Магниту, X5 Retail Group...

Типовая задача
Формула Гордона. Прирост стоимости акции компании c учетом роста чистых доходов после утверждения проекта

Компания планирует провести модернизацию производства, которая позволит увеличить годовой денежный поток на 200 млн. рублей в бесконечной перспективе (перпетуитет)
Для реализации проекта требуются единовременные инвестиции сейчас в размере 1555.05 млн. руб.
Какова чистая приведенная стоимость проекта, если альтернативные издержки капитала (альтернативные затраты на капитал) составляют 10%, а темп роста денежного потока 3.084%в год?
На сколько должна вырасти стоимость одной акции этой компании, если всего в обращении находится 10 млн. шт. акций?

CalcAnonymous
fx
Типовая задача
Прирост стоимости акции компании c учетом роста чистых доходов после утверждения проекта

Оцените компанию доходным методом, рассчитав NPV. Формула Гордона
Ожидается, что в рамках прогнозного периода потоки свободных денежных средств компании в первый год составят 10 млн. руб.,
во второй год 20 млн. руб., на третий год вырастут до 36.515 млн. руб.
Начиная с 4-го года компания вступает в завершающий период, когда для потока свободных денежных средств ожидается темп прироста 2.253% в год. Чему равна стоимость компании, если затраты на совокупный капитал составляют 10%?

CalcAnonymous
fx

Аннуитет - равные денежные потоки через равные промежутки, но ограниченные во времени

Варианты решения

  1. Продисконтировать на калькуляторе отдельные суммы и сложить их.

Пример расчета при пятилетнем CF и ставке требуемой доходности 10%

...
  1. Рассчитать NPV этих денежных потоков (ЧПС, NPV).
  2. Аннуитет как разность двух перпетуитетов - образно говоря, "обрубая хвост".

Сколько для вас стоит бесконечный денежный поток в 10 млн. руб. при ставке альтернативной (требуемой) доходности в 10% годовых?

Очевидно, 10/0.1, то есть 100.

А сколько для вас стоит денежный поток в 10/1.15 млн. руб. при ставке альтернативной (требуемой) доходности в 10% годовых?

Очевидно, 10/(1.15)*0.1).

Значит за пять ежегодных денежных потоков в 10 млн. руб, вы готовы заплатить разницу

Типовая задача
Аннуитет. Стоимость закладной

Оцените стоимость закладной, по которой ежегодно будет выплачиваться 9.867 млн. руб в течение 5 лет при требуемой доходности 10%

CalcAnonymous
fx

Подробнее Как учат в ведущих ВУЗах планеты?

Дисконтирование

Инвестиционные свойства облигаций

Инвестиционные свойства акций